西爾維斯特數列

西爾維斯特數列的定義為$s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}$。當n=0，由於空積（一個空集內所有元素的積）是1，所以$s_{0}=2$，之後是3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443...（OEIS:A000058）

這亦可以用遞歸定義：$s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,s_{0}=2$。

以數學歸納法可證明$\sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}}$。

「求k個埃及分數，使它們之和最接近1而又小於1。」答案就是這數列中首k個數的倒數之和。[1]因此，西爾維斯特數列又可以貪婪算法來定義：每步選取的一個分母，使得對應的埃及分數再加上之前的和最接近1而又少於1。

西爾維斯特數列可以表示為$s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$，其中E約為1.264。這和費馬數很相似。

這數列以詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特命名。

和為有理數且快速增長的唯一性

若有數列 $a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1$ 且 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{a_{i}}}\in \mathbb {Q}$，則必存在$N$使得對於$i>N$，$a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1$。

保羅·艾狄胥猜想上面的不等式可以改為更弱的條件$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1$。

質數

顯然兩個相異的西爾維斯特數必定互質。在首三百萬個質數只有1166個是西爾維斯特數列的因數。現時所知的西爾維斯特數中，都是無平方數因數的數，但未有證明所有西爾維斯特數都是。西爾維斯特數的質因數在質數集的密度為0。[2]

參考

編譯自en:Sylvester's sequence